K3 곡면

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 복소 K3 곡면
- 2.2. 일반화된 정의
3. 성질
4. 예
5. 응용
- 5.1. 끈 이론과의 관계
6. 역사와 어원
참조

1. 개요

K3 곡면은 복소수체 위의 비특이 대수 곡면으로, 표준 선다발이 자명하고 2차원 아벨 다양체가 아닌 곡면을 의미한다. K3 곡면은 단일 연결된 2차원 콤팩트 복소 다양체로서, 어디에서도 사라지지 않는 정칙 2-형식을 갖는 것으로 정의되기도 한다. 모든 복소 K3 곡면은 서로 미분 동형이며, 켈러 계량과 리치 평탄 켈러 계량을 갖는다. K3 곡면은 끈 이론의 콤팩트화에서 중요한 역할을 하며, 끈 이중성을 이해하는 데 중요한 도구를 제공한다. K3 곡면이라는 이름은 앙드레 베유가 에른스트 쿠머, 에리히 켈러, 고다이라 구니히코와 카슈미르의 K2 산을 기리기 위해 명명했다.

더 읽어볼만한 페이지

복소곡면 - 델 페초 곡면
델 페초 곡면은 대수적으로 닫힌 체 K에서 정의되는 차원 2의 파노 다양체이자 유리 곡면으로, 사영 평면의 부풀리기 또는 P1 × P1과 동형이며, 차수가 최대 9이고 이론 물리학에도 활용된다.
복소곡면 - 타원 곡면
타원 곡면은 거의 모든 올이 타원 곡선인 대수 곡선으로 가는 타원 다발을 갖는 대수 곡면의 일종으로, 엔리퀘스-고다이라 분류에서 중요한 위치를 차지하며 복소다양체론과 4차원 매끄러운 다양체 이론에서 비교적 잘 이해되는 분류에 속한다.
대수곡면 - 델 페초 곡면
델 페초 곡면은 대수적으로 닫힌 체 K에서 정의되는 차원 2의 파노 다양체이자 유리 곡면으로, 사영 평면의 부풀리기 또는 P1 × P1과 동형이며, 차수가 최대 9이고 이론 물리학에도 활용된다.
대수곡면 - 타원 곡면
타원 곡면은 거의 모든 올이 타원 곡선인 대수 곡선으로 가는 타원 다발을 갖는 대수 곡면의 일종으로, 엔리퀘스-고다이라 분류에서 중요한 위치를 차지하며 복소다양체론과 4차원 매끄러운 다양체 이론에서 비교적 잘 이해되는 분류에 속한다.
곡면 - 뫼비우스의 띠
"상상력" 한가 아닌 답변을 바랍니다.
곡면 - 가우스의 빼어난 정리
가우스의 빼어난 정리는 곡면의 가우스 곡률이 외부 공간이 아닌 곡면 자체의 리만 계량만으로 결정된다는 정리로, 곡면의 변형 시 가우스 곡률이 보존됨을 의미하며, 지도 제작의 불가능성 증명과 고차원 리만 다양체 일반화에 응용되어 미분기하학과 일반 상대성 이론의 기초가 된다.

K3 곡면

2. 정의

K3 곡면은 표준 선다발이 자명하며 2차원 아벨 다양체가 아닌 비특이 대수 곡면이다. K3 곡면을 정의하는 여러 동치 조건들이 존재한다.

K3 곡면 $X$ 위에 복소수 선다발 $L$ 이 주어졌을 때, 이 선다발에 대응하는 인자는 대수 곡선으로서 종수 $g$ 를 가지며, 다음 식으로 표현된다.

: $c_1(L)^2=2g-2$

여기서 $c_1(L)$ 은 $L$ 의 천 특성류이다. 종수 $g$ 의 선다발을 갖춘 K3 곡면 $(X,L)$ 을 종수 $g$ 의 K3 곡면이라고 한다.

미분기하학에서, 콤팩트 단일 연결 복소수 2차원 칼라비-야우 다양체를 K3 다양체(K3 manifold^영어)라고 한다. 모든 K3 곡면(에 대응되는 켈러 다양체)은 K3 다양체이다. 일부 K3 다양체는 (고다이라 매장 정리 따위로 인하여) 복소수체 위의 대수 곡선을 이루지만, 일반적 K3 다양체는 복소수 대수다양체가 아니다.

자명한 표준 번들을 갖는 유일한 콤팩트 복소 곡면은 K3 곡면과 콤팩트 복소 토러스이므로, 후자를 제외하는 조건을 추가하여 K3 곡면을 정의할 수 있다.

2. 1. 복소 K3 곡면

복소 해석적 K3 곡면은 단일 연결된 2차원 콤팩트 복소 다양체로서, 어디에서도 사라지지 않는 정칙 2-형식을 갖는 것으로 정의된다. 이는 표준 선다발이 자명하다는 것과 같은 의미이다.^[1]

복소 대수적 K3 곡면은 추가로 사영 다양체의 성질을 갖는다.^[1] 일부 연구자들은 복소수 위에서 대수적 K3 곡면만을 고려하거나, 듀발 특이점을 갖는 곡면을 허용하기도 한다.^[33]

2. 2. 일반화된 정의

복소수체가 아닌 다른 체에 대해서도 K3 곡면을 정의할 수 있다. 뒤 발 특이점(Du Val singularities)을 갖는 K3 곡면도 고려할 수 있다.^[33]

3. 성질

K3 곡면은 다양한 기하학적, 위상수학적 성질을 지닌다.

복소수체에서 모든 K3 곡면은 서로 미분 동형이며, 원환면이 아닌 유일한 복소 2차원(실수 4차원) 콤팩트 칼라비-야우 다양체이다.^[37] SU(2)가 USp(2)와 같으므로, K3 곡면은 초켈러 다양체이다. K3 곡면은 고다이라 차원이 0이다.

K3 곡면의 피카르 군 Pic(''X'')은 ''X'' 위의 복소해석적 선다발들의 아벨 군이다. K3 곡면 ''X''의 피카르 군은 항상 유한 생성 자유 아벨 군이며, 그 계수를 '''피카르 수''' $\rho$ 라고 한다. K3 곡면의 '''피카르 격자'''는 정수 값을 갖는 대칭 쌍선형 형식인 교차 형식을 갖는 아벨 군 Pic(''X'')이다. K3 곡면의 피카르 격자는 항상 짝수이다.

주기 사상은 K3 곡면을 그 호지 구조로 보내는 사상이다. K3 곡면에 대한 토렐리 정리가 성립하는데, 이는 K3 곡면이 그 호지 구조에 의해 결정된다는 것을 의미한다.^[21]

타원 섬유화 $X\to\mathbf{P}^1$ 를 갖는 K3 곡면은 일반적인 경우보다 분석하기 쉬운 중요한 하위 부류이다.

3. 1. 위상수학적 성질

모든 복소 K3 곡면은 서로 미분 동형이다.^[4] K3 곡면의 특이 호몰로지는 꼬임(torsion)이 없다.^[34]

K3 곡면의 교차 형식은 다음과 같이 짝 유니모듈러 격자(even unimodular lattice)로 표현된다.

:

\operatorname{Intersection}(\operatorname{K3})=2(-E_8)\oplus3H

:

H=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}

:

E_8=\begin{pmatrix}2&1\\1&2&1\\&1&2&1\\&&1&2&1\\&&&1&2&1&&1\\&&&&1&2&1\\&&&&&1&2&\\&&&&1&&&2&\\\end{pmatrix}

:

E_8

은 단순 리 군 E₈의 근계 격자인 유니모듈러 격자이다.

이에 따라, K3 곡면의 베티 수는 다음과 같다.

:

b_0(\operatorname{K3})=1

:

b_1(\operatorname{K3})=0

:

b_2^+(\operatorname{K3})=3

:

b_2^-(\operatorname{K3})=19

:

b_3(\operatorname{K3})=0

:

b_4(\operatorname{K3})=1

K3 곡면의 호모토피 군은 다음과 같다.^[35]

:

\pi_0(\operatorname{K3})=0

:

\pi_1(\operatorname{K3})=0

:

\pi_2(\operatorname{K3})=\mathbb Z^{22}

:

\pi_3(\operatorname{K3})=\mathbb Z^{252}

:

\pi_4(\operatorname{K3})=\mathbb Z^{3520}\oplus(\mathbb Z/2)^{42}

:

\pi_k(\operatorname{K3})=\pi_k\left(\operatorname{\#}^{21}(\mathbb S^2\times\mathbb S^3)\right)\qquad(k\ge3)

복소해석적 K3 곡면의 베티 수는 다음과 같이 계산된다.^[2] l-아디 가군 코호몰로지를 사용하여 임의의 체 위의 대수적 K3 곡면의 베티 수에 대해 동일한 답을 얻을 수 있다. 표준 번들

K_X = \Omega^2_X

는 자명하고, 불규칙성 ''q''(''X'') (가환층 코호몰로지 군

H^1(X,O_X)

의 차원

h^1(X,O_X)

)은 0이다. 세르 쌍대성에 의해,

:

h^2(X,\mathcal{O}_X)=h^0(X,K_X)=1.

이다.

결과적으로, ''X''의 산술 종수 (또는 정칙 오일러 지표)는 다음과 같다.

:

\chi(X,\mathcal{O}_X):=\sum_i (-1)^i h^i(X,\mathcal{O}_X)=1-0+1=2.

리만-로크 정리(노터 공식)는 다음과 같다.

:

\chi(X,\mathcal{O}_X) = \frac{1}{12} \left(c_1(X)^2+c_2(X)\right),

여기서

c_i(X)

는 접번들의 ''i''-번째 천 지표이다.

K_X

가 자명하므로, 첫 번째 천 지표

c_1(K_X)=-c_1(X)

는 0이고, 따라서

c_2(X)=24

이다.

지수 열

0\to \Z_X\to O_X\to O_X^*\to 0

은 코호몰로지 군의 완전 열

0\to H^1(X,\Z) \to H^1(X,O_X)

을 제공하므로

H^1(X,\Z)=0

이다. 따라서 베티 수

b_1(X)

는 0이고, 푸앵카레 쌍대성에 의해

b_3(X)

도 0이다.

c_2(X)=24

는 위상적 오일러 지표와 같다.

:

\chi(X)=\sum_i (-1)^ib_i(X).

b_0(X)=b_4(X)=1

이고

b_1(X)=b_3(X)=0

이므로,

b_2(X)=22

이다.^[3]

모든 복소해석적 K3 곡면은 켈러 계량을 갖는다.^[5] 야우 싱퉁의 칼라비 추측에 대한 해에 의해, 모든 복소해석적 K3 곡면은 리치 평탄 켈러 계량을 갖는다는 결론이 나온다.

모든 K3 곡면의 호지 수는 다음과 같다.

복소해석적 K3 곡면 ''X''에 대해,

H^2(X,\Z)\cong\Z^{22}

에 대한 교차 형식 (또는 컵 곱)은 정수 값을 갖는 대칭 쌍선형 형식으로, '''K3 격자'''라고 알려져 있다. 이는 짝 유니모듈러 격자

\operatorname{II}_{3,19}

와 동형이거나, 동등하게

E_8(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}

과 동형이다. 여기서 ''U''는 랭크 2의 쌍곡 격자이고

E_8

은 E8 격자이다.^[7]

마쓰모토 유키오의 11/8 추측은 짝수 교차 형식을 갖는 모든 매끄러운 지향된 4-다양체 ''X''의 두 번째 베티 수가 시그니처의 절댓값의 11/8배 이상이라고 예측한다. 이는 복소 K3 곡면의 경우 등식이 성립하므로 (시그니처가 3−19 = −16임) 사실이라면 최적이다.

로버트 프리드먼과 존 모건에 의해 K3 곡면과 미분 동형인 모든 복소 곡면은 K3 곡면이다. 반면에, 고다이라 구니히코와 마이클 프리드먼에 의해 K3 곡면과 위상 동형이지만 미분 동형이 아닌 매끄러운 복소 곡면(일부는 사영적)이 있다.^[9]

3. 2. 심플렉틱 기하학적 성질

일반적인 K3 다양체는 대수 곡선이 아니며, 정칙 곡선은 상수 함수밖에 존재하지 않는다. 따라서, K3 곡면의 양자 코호몰로지는 특이 코호몰로지와 일치한다.^[36]

고다이라 구니히코에 의해, 두 개의 복소해석적 K3 곡면은 매끄러운 4-다양체로서 미분동형이다.^[4]
시우 윰통에 의해, 모든 복소해석적 K3 곡면은 켈러 계량을 갖는다.^[5] 야우 싱퉁의 칼라비 추측에 대한 해에 의해, 모든 복소해석적 K3 곡면은 리치 평탄 켈러 계량을 갖는다는 결론이 나온다.
복소해석적 K3 곡면 ''X''에 대해, $H^2(X,\Z)\cong\Z^{22}$ 에 대한 교차 형식 (또는 컵 곱)은 정수 값을 갖는 대칭 쌍선형 형식으로, '''K3 격자'''라고 알려져 있다. 이는 짝 유니모듈러 격자 $\operatorname{II}_{3,19}$ 와 동형이거나, 동등하게 $E_8(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}$ 과 동형이다. 여기서 ''U''는 랭크 2의 쌍곡 격자이고 $E_8$ 은 E8 격자이다.^[7]
모든 K3 곡면의 호지 수는 다음과 같다.

1
0	0
1	20	1
0	0
1

: 표수 ''p'' > 0의 K3 곡면에 대해서는 알렉세이 루다코프와 이고르 샤파레비치가 처음으로 증명했다.^[6]
마쓰모토 유키오의 11/8 추측은 짝수 교차 형식을 갖는 모든 매끄러운 지향된 4-다양체 ''X''의 두 번째 베티 수가 시그니처의 절댓값의 11/8배 이상이라고 예측한다. 이는 복소 K3 곡면의 경우 등식이 성립하므로 (시그니처가 3−19 = −16임) 사실이라면 최적이다. 이 추측은 짝수 교차 형식을 갖는 모든 단일 연결 매끄러운 4-다양체가 K3 곡면과 $S^2\times S^2$ 의 복사본의 연결합에 위상 동형이라는 것을 의미한다.^[8]
로버트 프리드먼과 존 모건에 의해 K3 곡면과 미분 동형인 모든 복소 곡면은 K3 곡면이다. 반면에, 고다이라 구니히코와 마이클 프리드먼에 의해 K3 곡면과 위상 동형이지만 미분 동형이 아닌 매끄러운 복소 곡면(일부는 사영적)이 있다.^[9] 이러한 "호모토피 K3 곡면"은 모두 고다이라 차원 1을 갖는다.
복소 대수 K3 곡면 ''X''는 유리대선으로 덮인 다양체가 아니다. 즉, 유리 곡선의 연속적인 패밀리에 의해 덮이지 않는다. 반면에, ''X''는 유리 곡선(어쩌면 특이점)의 큰 이산 집합을 포함한다. 특히, 표도르 보고몰로프와 데이비드 머머드는 ''X''의 모든 곡선이 유리 곡선의 양의 선형 결합과 선형 동치임을 보였다.^[15]
복소 해석 K3 곡면 ''X''의 고바야시 거리가 항등적으로 0이다. 이 증명은 대수 K3 곡면 ''X''가 항상 타원 곡선의 이미지의 연속적인 패밀리에 의해 덮인다는 것을 사용한다.^[16] 아직 해결되지 않은 더 강력한 질문은 모든 복소 K3 곡면이 $\C^2$ 에서 비퇴화 정칙 사상을 허용하는지 여부이다(여기서 "비퇴화"는 사상의 도함수가 어떤 점에서 동형사상임을 의미한다).^[17]

3. 3. 대수기하학적 성질

복소수 K3 곡면은 칼라비-야우 다양체이며,^[37] 원환면이 아닌 유일한 복소 2차원 (실수 4차원) 콤팩트 칼라비-야우 다양체이다. SU(2)=USp(2)이므로, K3 곡면은 초켈러 다양체이다. K3 곡면은 고다이라 차원이 0이며, 그 호지 수는 다음과 같다.

		1
	0		0
1		20		1
	0		0
		1

고다이라 구니히코에 의해, 두 개의 복소해석적 K3 곡면은 매끄러운 4-다양체로서 미분동형이다.^[4] 시우 윰통에 의해, 모든 복소해석적 K3 곡면은 켈러 계량을 갖는다.^[5] 야우 싱퉁의 칼라비 추측에 대한 해에 의해, 모든 복소해석적 K3 곡면은 리치 평탄 켈러 계량을 갖는다는 결론이 나온다.

복소해석적 K3 곡면 ''X''에 대해, $H^2(X,\Z)\cong\Z^{22}$ 에 대한 교차 형식 (또는 컵 곱)은 정수 값을 갖는 대칭 쌍선형 형식으로, '''K3 격자'''라고 알려져 있다. 이는 짝 유니모듈러 격자 $\operatorname{II}_{3,19}$ 와 동형이거나, 동등하게 $E_8(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}$ 과 동형이다. 여기서 ''U''는 랭크 2의 쌍곡 격자이고 $E_8$ 은 E8 격자이다.^[7]

마쓰모토 유키오의 11/8 추측은 짝수 교차 형식을 갖는 모든 매끄러운 지향된 4-다양체 ''X''의 두 번째 베티 수가 시그니처의 절댓값의 11/8배 이상이라고 예측한다. 이는 복소 K3 곡면의 경우 등식이 성립하므로 (시그니처가 3−19 = −16임) 사실이라면 최적이다.

로버트 프리드먼과 존 모건에 의해 K3 곡면과 미분 동형인 모든 복소 곡면은 K3 곡면이다. 반면에, 고다이라 구니히코와 마이클 프리드먼에 의해 K3 곡면과 위상 동형이지만 미분 동형이 아닌 매끄러운 복소 곡면(일부는 사영적)이 있다.^[9]

3. 4. 피카르 격자 (Picard lattice)

K3 곡면의 피카르 군 Pic(''X'')은 ''X'' 위의 복소해석적 선다발들의 아벨 군이다. 대수적 K3 곡면의 경우, Pic(''X'')는 ''X'' 위의 대수적 선다발들의 군이다. 장피에르 세르의 GAGA 정리에 의해 복소 대수적 K3 곡면에 대해 두 정의는 일치한다.

K3 곡면 ''X''의 피카르 군은 항상 유한 생성 자유 아벨 군이며, 그 계수를 '''피카르 수'''

\rho

라고 한다. 복소수의 경우, Pic(''X'')는

H^2(X,\Z)\cong\Z^{22}

의 부분군이다. 다양한 피카르 수가 발생할 수 있다는 점은 K3 곡면의 중요한 특징이다. 복소 대수적 K3 곡면 ''X''의 경우,

\rho

는 1에서 20 사이의 임의의 정수가 될 수 있다. 복소해석적인 경우,

\rho

는 0이 될 수도 있다. (이 경우, ''X''는 닫힌 복소 곡선을 전혀 포함하지 않는다. 반대로, 대수적 곡면은 항상 많은 연속적인 곡선족을 포함한다.) 표수 ''p'' > 0인 대수적으로 닫힌 체 위에서, 피카르 수가 22인 초특이 K3 곡면이라는 특수한 종류의 K3 곡면이 있다.

K3 곡면의 '''피카르 격자'''는 정수 값을 갖는 대칭 쌍선형 형식인 교차 형식을 갖는 아벨 군 Pic(''X'')이다. (

\Complex

위에서, 교차 형식은

H^2(X,\Z)

위의 교차 형식의 제한이다. 일반적인 체 위에서, 피카르 군을 인자류 군과 동일시하여 곡면 위 곡선들의 교차 이론을 사용하여 교차 형식을 정의할 수 있다.) K3 곡면의 피카르 격자는 항상 ''짝수''이며, 이는 각

u\in\operatorname{Pic}(X)

에 대해 정수

u^2

가 짝수임을 의미한다.

호지 지수 정리는 대수적 K3 곡면의 피카르 격자가 부호수

(1,\rho-1)

을 갖는다는 것을 의미한다. K3 곡면의 많은 속성은 정수에 대한 대칭 쌍선형 형식으로서 해당 피카르 격자에 의해 결정된다. 이는 K3 곡면 이론과 대칭 쌍선형 형식의 산술 사이의 강력한 연결을 이끌어낸다. 이 연결의 첫 번째 예로, 복소해석적 K3 곡면은

u^2>0

인 원소

u\in\operatorname{Pic}(X)

가 있는 경우에만 대수적이다.^[11]

대략적으로 말해서, 모든 복소해석적 K3 곡면의 공간은 복소수 차원 20을 가지는 반면, 피카르 수

\rho

를 갖는 K3 곡면의 공간은 차원

20-\rho

를 갖는다 (초특이 경우는 제외). 특히, 대수적 K3 곡면은 19차원 족에서 발생한다.

어떤 격자가 K3 곡면의 피카르 격자로 발생할 수 있는지에 대한 정확한 설명은 복잡하다. 뱌체슬라프 니쿨린과 데이비드 모리슨의 한 가지 명확한 진술은 부호수

(1,\rho-1)

을 갖는 모든 짝수 격자(단,

\rho\leq 11

)는 어떤 복소 사영 K3 곡면의 피카르 격자라는 것이다.^[12] 이러한 곡면의 공간은 차원

20-\rho

를 갖는다.

K3 곡면의 주목할 만한 특징은 피카르 격자가 풍부한 제수(볼록 뿔)의 볼록 뿔을 포함하여 곡면의 많은 기하학적 속성을 결정한다는 것이다(피카르 격자의 자기 동형 사상까지). 풍부한 뿔은 다음과 같이 피카르 격자에 의해 결정된다. 호지 지수 정리에 따르면 실수 벡터 공간

N^1(X):=\operatorname{Pic}(X)\otimes\R

위의 교차 형식은 시그니처

(1,\rho-1)

를 갖는다. 따라서 양의 자기 교차를 갖는

N^1(X)

의 원소 집합은 두 개의 연결 성분을 갖는다. ''X''에서 풍부한 제수를 포함하는 성분을 '''양의 뿔'''이라고 부른다.

경우 1: Pic(''X'')에 $u^2=-2$ 인 원소 ''u''가 없다. 그러면 풍부한 뿔은 양의 뿔과 같다. 따라서 이는 표준 둥근 뿔이다.

경우 2: 그렇지 않은 경우 $\Delta=\{u\in\operatorname{Pic}(X):u^2=-2\}$ (피카르 격자의 '''근''' 집합)을 둔다. 근의 직교 여공간은 양의 뿔을 통과하는 초평면의 집합을 형성한다. 그러면 풍부한 뿔은 양의 뿔에서 이러한 초평면의 여집합의 연결 성분이다. 격자 Pic(''X'')의 직교 군은 각 근 초평면에 대한 반사를 포함하므로 이러한 두 성분은 동형이다. 이러한 의미에서 피카르 격자는 동형 사상까지 풍부한 뿔을 결정한다.^[26]

Sándor Kovács에 의한 관련 명제는 Pic(''X'')에서 하나의 풍부한 제수 ''A''를 아는 것은 ''X''의 전체 곡선 뿔을 결정한다는 것이다. 즉, ''X''가 피카르 수

\rho\geq 3

를 갖는다고 가정한다. 근의 집합

\Delta

가 비어 있으면 닫힌 곡선 뿔은 양의 뿔의 폐포이다. 그렇지 않으면 닫힌 곡선 뿔은

A\cdot u>0

인 모든 원소

u\in\Delta

에 의해 묶인 닫힌 볼록 뿔이다. 첫 번째 경우, ''X''는 (−2)-곡선을 포함하지 않는다. 두 번째 경우, 닫힌 곡선 뿔은 모든 (−2)-곡선에 의해 묶인 닫힌 볼록 뿔이다.^[27] (

\rho=2

인 경우 다른 가능성이 하나 더 있다. 곡선 뿔은 하나의 (−2)-곡선과 자기 교차 0을 갖는 하나의 곡선에 의해 묶일 수 있다.) 따라서 곡선 뿔은 표준 둥근 뿔이거나 "날카로운 모서리"가 있다(모든 (−2)-곡선이 곡선 뿔의 ''고립된'' 극단 광선을 묶기 때문).

3. 5. 모듈라이 공간 (Moduli space)

K3 다양체는 57개의 복소구조 모듈라이와 1개의 켈러 모듈라이를 갖는다. K3 곡면의 복소구조 모듈라이 공간은 오비폴드 구조를 가지며, 구체적으로 다음과 같다.

:SO(3,19;ℤ)\SO(3,19)/(SO(19)×SO(3))

K3의 유일한 켈러 모듈라이는 K3의 크기를 나타낸다. K3의 총 모듈라이 공간은 다음과 같다.

:ℝ⁺×(SO(3,19;ℤ)\SO(3,19)/(SO(19)×SO(3)))

극성화된(polarized) K3 곡면의 모듈라이 공간은 준사영 복소다양체(quasi-projective complex variety)이다. 각

g\geq 2

에 대해 종수 ''g''인 극화된 복소수 K3 곡면의 기약 조대 모듈 공간

\mathcal{F}_g

가 존재한다. 이는 ''SO''(2,19)에 대한 시무라 다양체의 자리스키 열린 집합으로 볼 수 있다. 각 ''g''에 대해

\mathcal{F}_g

는 차원이 19인 준 투영 복소수 다양체이다.^[23]

무카이 시게루는 이 모듈 공간이

g\leq 13

또는

g=18,20

인 경우 단순 유리적임을 보였다. 반대로, 발레리 그리첸코(Valery Gritsenko), 클라우스 훌렉 및 그레고리 산카란(Gregory Sankaran)은

\mathcal{F}_g

가

g\geq 63

또는

g=47,51,55,58,59,61

인 경우 일반 유형임을 보였다.

K3 곡면의 점이 찍힌 복소수 K3 곡면의 거친 모듈라이 공간이 존재하며, 복소수 차원 20의 비하우스도르프적 매끄러운 공간이 된다.

3. 6. 주기 사상 (Period map)

주기 사상은 K3 곡면을 그 호지 구조로 보내는 사상이다. K3 곡면에 대한 토렐리 정리가 성립하는데, 이는 K3 곡면이 그 호지 구조에 의해 결정된다는 것을 의미한다.^[21]

주기 영역은 다음과 같이 20차원 복소다양체로 정의된다.

:

D=\{u\in P(\Lambda\otimes\Complex): u^2=0,\, u\cdot\overline{u} > 0\}.

표지된 K3 곡면 ''X''에 대한 주기 사상

N\to D

는 ''X''를 복소선

H^0(X,\Omega^2)\subset H^2(X,\Complex)\cong \Lambda\otimes\Complex

로 보낸다. 이 사상은 전사이고 국소 동형사상이지만, 동형사상은 아니다. (특히 ''D''는 하우스도르프 공간이고 ''N''은 그렇지 않기 때문이다.)^[21]

그러나 K3 곡면에 대한 '''전역 토렐리 정리'''에 따르면, 다음 집합의 몫 사상은 전단사이다.

:

N/O(\Lambda)\to D/O(\Lambda)

따라서 두 복소해석적 K3 곡면 ''X''와 ''Y''가 동형일 필요충분조건은

H^2(X,\Z)

에서

H^2(Y,\Z)

로의 '''호지 등거리 사상'''이 존재하는 것이다. 즉, 교차 형식을 보존하고

H^0(X,\Omega^2)\subset H^2(X,\Complex)

를

H^0(Y,\Omega^2)

로 보내는 아벨 군의 동형사상이 존재해야 한다.^[21]

3. 7. 타원 K3 곡면 (Elliptic K3 surface)

타원 섬유화

X\to\mathbf{P}^1

를 갖는 K3 곡면은 일반적인 경우보다 분석하기 쉬운 중요한 하위 부류이다. "타원형"은 이 사상의 모든 섬유 중 유한 개를 제외하고는 종수 1의 매끄러운 곡선임을 의미한다. 특이 섬유는 유리 곡선의 합이며, 가능한 유형은 코다이라에 의해 분류되었다. 특이 섬유의 위상적 오일러 지수의 합이

\chi(X)=24

이므로 항상 몇 개의 특이 섬유가 존재한다. 일반적인 타원 K3 곡면은 정확히 24개의 특이 섬유를 가지며, 각 섬유의 유형은

I_1

(노드 입방 곡선)이다.^[13]

K3 곡면이 타원형인지 여부는 피카르 격자에서 확인할 수 있다. 표수가 2 또는 3이 아닌 경우, K3 곡면 ''X''에

u^2=0

인

u\in\operatorname{Pic}(X)

의 비영 요소가 존재하면 타원 섬유화를 갖는다.^[14] (표수가 2 또는 3인 경우, 후자의 조건은 준 타원 섬유화에 해당할 수도 있다.) 따라서 타원 섬유화를 갖는 것은 K3 곡면에 대한 여차원 1 조건이다. 타원 섬유화를 갖는 복소수 해석적 K3 곡면의 19차원 패밀리가 있고, 타원 섬유화를 갖는 사영 K3 곡면의 18차원 모듈 공간이 존재한다.

예시:

\mathbf{P}^3

에서 선 ''L''을 포함하는 모든 매끄러운 사차 곡면 ''X''는 ''L''에서 투영하여 주어진 타원 섬유화

X\to \mathbf{P}^1

를 갖는다. 모든 매끄러운 사차 곡면(동형까지)의 모듈 공간은 차원이 19이고, 선을 포함하는 사차 곡면의 부분 공간은 차원이 18이다.

3. 8. 유리 곡선 (Rational curves)

복소 대수 K3 곡면 ''X''는 델 페초 곡면과 같은 양의 곡률을 가진 다양체와는 대조적으로 유리 곡선으로 덮인 다양체가 아니다. 즉, 유리 곡선의 연속적인 패밀리에 의해 덮이지 않는다. 반면에, 일반형 곡면과 같은 음의 곡률을 가진 다양체와는 대조적으로, ''X''는 유리 곡선(어쩌면 특이점)의 큰 이산 집합을 포함한다. 특히, 표도르 보고몰로프와 데이비드 머머드는 ''X''의 모든 곡선이 유리 곡선의 양의 선형 결합과 선형 동치임을 보였다.^[15]

4. 예

다음과 같은 사영 대수다양체들은 K3 곡면을 이룬다.^[10]

3차원 복소수 사영 공간 속의 4차 곡면.
4차원 복소수 사영 공간에서, 2차 초곡면과 3차 초곡면의 교집합.
5차원 복소수 사영 공간에서, 세 개의 2차 초곡면들의 교집합.

이 밖에도, 다음과 같이 K3 곡면을 얻을 수 있다.^[10]

사영 평면 속의 비특이 6차 대수 곡선을 따라 두 겹 피복 공간을 취하는 경우.
2차원 아벨 다양체에서, $a\mapsto-a$ 에 대한 몫공간을 취한 '''쿠머 곡면'''(Kummer surface^영어). 쿠머 곡면의 최소 분해는 K3 곡면을 이룬다.
매끄러운 6차 곡선을 따라 분기된 사영 평면의 이중 피복은 종수 2의 K3 곡면이다.
$\mathbf{P}^3$ 의 매끄러운 4차 곡면은 종수 3의 K3 곡면이다.
쿠머 곡면은 2차원 아벨 다양체를 $a\mapsto -a$ 의 작용으로 나눈 몫이다. 이 결과는 2-비틀림점에서 16개의 특이점이 발생한다. 이 특이 곡면의 최소 해소 또한 쿠머 곡면이라고 할 수 있으며, 이 해소는 K3 곡면이다.
더 일반적으로 du Val 특이점을 갖는 모든 4차 곡면에 대해, 최소 해소는 대수적 K3 곡면이다.
$\mathbf{P}^4$ 에서 이차 곡면과 삼차 곡면의 교차는 종수 4의 K3 곡면이다.
$\mathbf{P}^5$ 에서 세 개의 이차 곡면의 교차는 종수 5의 K3 곡면이다.
가중 사영 공간에 있는 du Val 특이점을 갖는 K3 곡면에 대한 여러 데이터베이스가 있다.
비특이 차수 6의 곡선에 따라 분기된 사영 평면의 이중 피복은 종수 2의 K3 곡면이다.
쿠머 곡면은 2차원 아벨 다양체의 작용에 의한 몫이다. 이 결과는 2-토션 점에서 16개의 특이점을 갖는다는 결과를 낳는다. 이 몫의 최소 특이점 해소는 종수 3의 K3 곡면이다.
P³ 안의 차수 4의 비특이 곡면은 종수 3의 K3 곡면이다.
P⁴ 안의 2차와 3차의 교차는 종수 4의 K3 곡면이다.
P⁵ 안의 3개의 2차의 교차는 종수 5의 K3 곡면이다.

5. 응용

K3 곡면은 끈 이론의 콤팩트화에서 중요한 역할을 한다. K3 곡면에서의 끈 이론 콤팩트화를 통해 다양한 이중성 관계를 얻을 수 있다.^[38] 특히, K3 곡면의 모듈러스는 M이론-잡종 끈 이론 이중성을 사용하여 해석할 수 있다.

5. 1. 끈 이론과의 관계

K3 곡면은 다루기 쉬운 칼라비-야우 다양체이므로, 끈 이론을 축소화할 때 쓰인다.^[38] K3 곡면에 축소화한 끈 이론에는 다음과 같은 이중성들이 존재한다.

(타원 다발 구조를 갖춘) K3에 축소화한 F이론 = T²에 축소화한 잡종 끈 이론
K3에 축소화한 M이론 = T³에 축소화한 잡종 끈 이론
K3에 축소화한 ⅡA종 끈 이론 = T⁴에 축소화한 잡종 끈 이론
K3×S¹에 축소화한 ⅡB종 끈 이론 = T⁵에 축소화한 잡종 끈 이론

K3 곡면은 끈 이중성을 이해하는 데 중요한 도구를 제공하며, 끈 콤팩트화에 쓰인다. IIA형 끈, IIB형 끈, E₈×E₈ 잡종 끈 이론, Spin(32)/Z2 잡종 끈 이론 및 M-이론은 K3 곡면에서의 콤팩트화를 통해 관련되어 있다. 예를 들어, K3 곡면에서 콤팩트화된 IIA형 끈은 4-토러스에서 콤팩트화된 잡종 끈 이론과 동일하다.

6. 역사와 어원

앙드레 베유가 1958년에 "K3"라는 이름을 명명하였다.^[39] 베유는 쿠머, 켈러, 고다이라와 카슈미르의 K2 산을 기리기 위해 이 이름을 붙였다고 설명했다. 이들은 모두 이름의 머릿글자가 "K"인 세 명의 유명한 대수기하학자들이다.

$\mathbf{P}^3$ 의 4차 곡면은 에른스트 쿠머, 아서 케일리, 프리드리히 슈르 및 19세기 다른 기하학자들에 의해 연구되었다. 페데리고 엔리케스는 1893년에 자명한 표준 번들과 불규칙성 0을 갖는 $\mathbf{P}^g$ 에서 차수 2''g''−2의 곡면이 존재한다는 것을 관찰했다.^[29] 1909년에 엔리케스는 그러한 곡면이 모든 $g\geq 3$ 에 대해 존재한다는 것을 보였고, 프란체스코 세베리는 그러한 곡면의 모듈 공간이 각 ''g''에 대해 19차원임을 보였다.^[30]

앙드레 베유는 K3 곡면에 그 이름을 부여했고, 그들의 분류에 대한 몇 가지 추측을 했다. 고다이라 구니히코는 1960년경 기본 이론을 완성했는데, 특히 대수적이지 않은 복소 해석적 K3 곡면에 대한 최초의 체계적인 연구를 수행했다. 그는 두 개의 복소 해석적 K3 곡면이 변형-동치이며 따라서 미분 동형임을 보여주었는데, 이는 대수적 K3 곡면의 경우에도 새로운 사실이었다. 중요한 후기 발전은 일리야 피아테츠키-샤피로와 이고르 샤파레비치(1971)에 의한 복소 대수적 K3 곡면에 대한 토렐리 정리의 증명이었고, 다니엘 번스와 마이클 라포포트 (1975)에 의해 복소 해석적 K3 곡면으로 확장되었다.

참조

_[1] 서적 Remark 1.1.2 2016
_[2] 서적 section 2.3. 2016
_[3] 서적 section 2.4. 2016
_[4] 서적 Theorem 7.1.1. 2016
_[5] 서적 section IV.3. 2004
_[6] 서적 Theorem 9.5.1. 2016
_[7] 서적 Proposition 3.3.5. 2016
_[8] 서적 section 5.3. 2005
_[9] 서적 Remark 1.3.6(ii). 2016
_[10] Citation Graded Ring Database http://www.grdb.co.u[...]
_[11] 서적 Theorem 6.1. 2004
_[12] 서적 Corollary 14.3.1 and Remark 14.3.7. 2016
_[13] 서적 Remark 11.1.12. 2016
_[14] 서적 Proposition 11.1.3. 2016
_[15] 서적 Corollary 13.1.5. 2016
_[16] 서적 Corollary 2.2; Huybrechts (2016), Corollary 13.2.2. 2014
_[17] 서적 section 13.0.3. 2016
_[18] 서적 section 6.3.3. 2016
_[19] 서적 section 6.3.1 and Remark 6.3.6. 2016
_[20] 서적 section 7.1.3. 2016
_[21] 서적 Theorem 7.5.3. 2016
_[22] 서적 Definition 2.4.1. 2016
_[23] 서적 Corollary 6.4.4. 2016
_[24] 서적 section 7.1.1. 2016
_[25] 서적 section 5.1.4 and Remark 6.4.5. 2016
_[26] 서적 Corollary 8.2.11. 2016
_[27] 서적 Corollary 8.3.12. 2016
_[28] 서적 Theorem 8.4.2. 2016
_[29] 서적 section III.6. 1893
_[30] 서적 1909
_[31] harvtxt 2016
_[32] harvtxt 2017
_[33] 문서 デュヴァル特異点は、単純曲面特異点、クライン特異点、有理二重点とも呼ばれ、平面上の二重分岐被覆上の複素曲面の孤立特異点であり、滑らかな有理曲線のツリーを特異点と置き換えることで極小モデルを得ることができるような特異点のことをいう。
_[34] 웹인용 Lectures on K3 surfaces http://www.math.uni-[...]
_[35] 저널인용 Homotopy groups and periodic geodesics of closed 4-manifolds 2015
_[36] 저널 A mathematical theory of quantum cohomology https://projecteucli[...] 1995-09
_[37] 저널 Every K3 surface is Kähler
_[38] 저널 K3 surfaces and string duality 1996
_[39] 서적 Scientific works. Collected papers Springer-Verlag

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com